Le problème du billard

Cette page contient les contributions concernant le problème du billard.

Rappel de l'énoncé

Le rectangle ABCD de 5 carreaux sur 7 représente un billard. On tire une boule à partir du coin A en faisant un angle de 45°. La boule rebondit sur les bords en faisant des angles de 90°.

Le début du trajet de la boule a été dessiné...

Continue jusqu'au moment où la boule arrive dans un autre coin.

• Quelle est le coin atteint ?
• Quelle est la longueur du trajet de la boule ?

Recommence en faisant varier les dimensions du rectangle.

Contribution de la classe de 6ème4 du collège Carnot de LILLE

Date 26/03/98

Tous les élèves : pour le rectangle 5 sur 7 la boule va traverser 35 cases et elle terminera sa course dans le coin C.

Lacroix Laure :

• Si l'une des dimensions est impaire, la boule parcourt toutes les cases.
• Si les deux dimensions sont paires, la boule ne parcourt pas toutes les cases.

Chalom Jérémie :

Il semblerait que :

• quand la hauteur et la largeur sont paires la boule ne traverse que la moitié des cases
• quand elles sont impaires la boule traverse toutes les cases
• même chose quand l'une est paire mais pas l'autre

Dupont Hélène :

Pour le rectangle 5 sur 7 la boule a parcouru 35 cases parce que 5x7=35.

En changeant les dimensions :

• si largeur et longueur sont impaires, la boule arrive au coin C et pour le nombre de cases on multiplie la longueur par la largeur
• si largeur et longueur sont paires, la boule arrive au coin B et le nombre de cases est (longueur x largeur):2
• si la largeur est impaire et la longueur est paire, la boule arrive au coin B et le nombre de cases est longueur x largeur

Bellon Matthieu :

Si je change les dimensions en enlevant ou en ajoutant une somme équitable à la largeur et à la longueur, je constate :

Je constate qu'il y a une suite BCDCBC....

J'en conclus :

• si j'ajoute le même nombre pair à la longueur et à la largeur le point final sera toujours C
• si j'ajoute le même nombre impair ce sera alternativement B et D

Contribution de la classe de 6ème du collège Notre Dame de Roscudon à Pont-Croix

Date 16/04/98

Etude réalisée par les élèves de 6ème du Collège Notre Dame de Roscudon à Pont-Croix

mèl : jean.gueguen@ac-rennes.fr

longueur largeur distance parcourue point d'arrivée longueur largeur distance parcourue point d'arrivée longueur largeur distance parcourue point d'arrivée 1 1 1 C 4 1 4 B 7 1 7 C 1 2 2 D 4 2 4 B 7 2 14 D 1 3 3 C 4 3 12 B 7 3 21 C 1 4 4 D 4 4 4 C 7 4 28 D 1 5 5 C 4 5 20 B 7 5 35 C 1 6 6 D 4 6 12 B 7 6 42 D 1 7 7 C 4 7 28 B 7 7 7 C 1 8 8 D 4 8 8 D 7 8 56 D 2 1 2 B 5 1 5 C 8 1 8 B 2 2 2 C 5 2 10 D 8 2 8 B 2 3 6 B 5 3 15 C 8 3 24 B 2 4 4 D 5 4 20 D 8 4 8 B 2 5 10 B 5 5 5 C 8 5 40 B 2 6 6 C 5 6 30 D 8 6 24 B 2 7 14 B 5 7 35 C 8 7 56 B 2 8 8 D 5 8 40 D 8 8 8 C 3 1 3 C 6 1 6 B         3 2 6 D 6 2 6 C         3 3 3 C 6 3 6 B         3 4 12 D 6 4 12 D         3 5 15 C 6 5 30 B         3 6 6 D 6 6 6 C         3 7 21 C 6 7 42 B         3 8 24 D 6 8 24 D

On a travaillé un peu sur les problèmes de billard (et on a trouvé ça très facile , dixit Kevin).
On a étudié la longueur de la trajectoire et le point d'arrivée pour un billard de 1x1 jusqu'à 8x8 (voir le tableau).
Pour le point d'arrivée on n'a rien trouvé d'intéressant.
Pour la longueur (unité 1 diagonale de carreau) : cela correspond au plus petit multiple commun de la longueur et de la largeur (à démontrer...)

Contribution de l'élève SION Mathilde de la classe de 5ème5 du collège Carnot à Lille

Date 28/04/98

On distingue tout d'abord deux sortes de billard :

• ceux appelés + : la longueur est un multiple de la largeur (y compris les billards carrés)
• ceux appelés - : la longueur n'est pas multiple de la largeur

Les billards +

les billards carrés La boule partie de A retombe obligatoirement en C en ne faisant qu'une diagonale dont le nombre de carreaux traversés est le même que celui d'un des côtés. les billards dont la largeur est le quart ou la moitié de la longueur Si le billard est horizontal, la boule retombe en B. les billards dont la longueur est simplement multiple de la largeur La boule partie en A retombe en C.

Les billards -

ceux qui ont deux côtés impairs La boule arrive obligatoirement en C. Lorsqu'on regarde le nombre de carreaux traversés dans chaque diagonale, on observe que le nombre de carreaux de la largeur est égal à celui de la 1ère diagonale, la plus grande, qui revient au milieu et à la fin et sert de symétrie. Longueur x largeur = distance ceux qui ont un côté pair et un côté impair La boule retombe en D ou B selon le sens du billard. Longueur x largeur = distance Une particularité : le nombre de carreaux traversés dans chaque diagonale est symétrique, la 1ère diagonale (la plus grande) revenant deux fois, au début et à la fin. ceux qui ont deux côtés pairs La boule retombe en D ou en B selon le sens du billard. Longueur x largeur ne donne plus la distance car ces billards sont obligatoirement le double ou le quadruple de billards plus petits et déjà existants ayant un côté pair et un côté impair (-). Cette fois, ces billards formeront la même forme que les plus petits mais la distance ne sera pas égale à Longueur x largeur car ce nombre sera égal à Longueur x largeur du billard le plus petit de la chaîne (4 fois plus petit).

Contribution de l'élève FAUQUETTE Nathalie de la classe de 6ème6 du collège Carnot à Lille

Date 5/05/98

Points d'arrivée

• Si n pair et p impair => A
• Si n impair et p pair => B
• Si n impair et p impair => C
• Si n pair et p pair => cela dépend; on divise le plus possible par 2.
  Ex : 12-8 donne 6-4, puis 3-2; on revient à une situation connue.

Longueur de la ligne
En diagonale de carreau, c'est le plus petit multiple commun (PPMC).

Ex :	5-3	5 - 10 - 15 - 20 - 25 - ......
		3 - 6 - 9 - 12 - 15 - 18 - 21 - .....
	6-4	6 - 12 - 18 - 24 - ......
		4 - 8 - 12 - 16 - 20 - .....
	5-5	5 - 10 - 15 - 20 - 25 - ......
		5 - 10 - 15 - 20 - 25 - .....

Vous pouvez envoyer vos contributions à la résolution de ce problème à lilimath@lille.iufm.fr . Elles apparaitront sur cette page.

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