Patrons des polyèdres réguliers

Ce texte montre comment construire les patrons des 5 polyèdres réguliers avec GEOLAP.

  1. Le cube

    2. Le cube peut être construit à partir d'une dizaine de patrons différents. Celui que nous choisissons a l'avantage de pouvoir être construit à partir de groupements de deux carrés.

    Pour dessiner le patron, on répète 3 fois le dessin formé par deux carrés. Les plis sont introduits à deux niveaux :
    - entre deux carrés formant un groupe (PQ)
    - entre deux groupes (ID)
    On obtient le script suivant : 
    
dans cot 50
pli angle 90
pour carré 
 (répète 4 (av cot td 90))
répète 3
 (répète 2 
  (carré lc av cot pq angle bc)
  ca angle re cot td 90 av cot tg 90
  id angle)

  2. Le tétraèdre

    3. On peut utiliser deux patrons pour construire un tétraèdre régulier.

    Il faut calculer la mesure de l'angle de pli :

    Le pli est donné par le supplémentaire de l'angle GIS dont le cosinus est 1/3. On déclarera le pli en écrivant : 
    pli a 180-arccos(1/3)
    On obtient les deux programmes suivants :

    Programme 1 

    
dans cot 100
pli a 180-arccos(1/3)
pour triangle
 ( repete 3 (av cot td 120))
triangle
lc av cot bc tg 180
ig a triangle id a
lc av cot bc tg 120
ig a triangle id a
lc av cot bc tg 120
ig a triangle id a

    Programme 2 

    
pli a 180-arccos(1/3)
dans cot 100
pour triangle 
 (répète 3 (av cot tg 120))
répète 2 (triangle id a td 60)
triangle
av cot
tg 120
id a
td 60
triangle

  3. L'octaèdre

    4. L'octaèdre régulier est formé de deux pyramides à base carrée. L'angle entre deux faces est 2*arcccos(1/rac(3)), soit 109.4712206 d'après ma calculatrice.

    1ère solution

    On peut envisager un pseudo-patron comme assemblage de 4 losanges formés par deux triangles équilatéraux.


    Il faudra effectuer un pli entre les deux triangles formant un losange, puis un autre pli de 90° entre les losanges.
    On obtient le programme suivant : 
    
dans cot 50
pli a1 90-arccos(1/rac(3))
pli a2 90
pour triangle
 (répète 3 (av cot td 120))
pour losange
 (id a1 triangle ig a1
  lc av cot tg 180 bc
  id a1 triangle ig a1)
lc td 90 re 2*cot bc
répète 4
 (losange tg 180 pq a2)

    2ème solution

    Les 4 losanges de la solution précédente peuvent être collés pour former un vrai patron.


    Avec cette solution, on n'a plus qu'un seul pli.
    Le programme devient : 
    
dans cot 80
pli a 180-2*arccos(1/rac(3))
pour triangle
 (répète 3 (av cot td 120))
répète 4
 (triangle av cot td 30 pq a td 30 
  triangle tg 30 ca a tg 30 re cot
  td 60 id a)

  4. Le dodécaèdre

    5. Le dodécaèdre est formé de 12 pentagones réguliers. L'angle entre deux faces est de 180°-arctan(2) soit 116.565051°.

    1ère solution

    On peut l'envisager comme former de deux coupelles dont le fond ainsi que les parois sont des pentagones.
    Cela donne le patron suivant :

    On pourra commencer par la construction d'une première coupelle, qui ne pose pas trop de problèmes.
    Le problème est de bien relié les deux coupelles.
    On obtient le programme suivant : 
    
pli a arctan(2)
dans cot 30
pour pentagone 
 (repete 5 (av cot tg 72))
;1ère coupelle moins une face
pentagone
repete 4 
 (id a td 108 pentagone tg 108 
  ig a av cot tg 72)
;2 faces de transition
id a td 108
pentagone
tg 108 av cot td 72 av cot td 72 
ig a
pentagone
td 72 re cot td 72 re cot tg 108 
ig a
;2ème coupelle moins une face 
pentagone
repete 4 
 (av cot tg 72 id a td 108 
  pentagone tg 108 ig a)

    2ème solution

    En supprimant deux faces opposées (parallèles) on obtient une bande de 10 pentagones réguliers en quinconce.


    On obtient un pseudo-dodécaèdre de façon très simple, avec le programme suivant : 
    
pli angle arctan(2)
pour pentagonea 
 (repete 5 (td 72 av 30))
pour pentagoneb 
 (repete 5 (tg 72 av 30))
repete 5 
 ( pentagonea
   td 72 av 30 id angle  
   pentagoneb  
   tg 72 av 30 ig angle
 )
    Il reste à introduire les deux faces manquantes.

  5. L'icosaèdre

    6. L'icosaèdre est formé de 20 triangles équilatéraux. L'angle entre deux faces est de 180°-arcsin(2/3) soit 138,1896851°.

    1ère solution

    Chaque sommet est commun à 5 triangles équilatéraux. On peut accrocher à ces triangles une bande de 3 autres triangles. D'où :


    On pourra introduire les procédures triangle, branche (assemblage de 4 triangles) et retour (pour se remettre en position après le dessin d'une branche). Il reste enfin à introduire les plis pour obtenir le script complet. 
    
dans cot 50
pli angle arcsin(2/3)
pour triangle
 (répète 3 (av cot td 120))
pour branche
 (répète 2
   (triangle lc td 60 av cot tg 120
    bc ig angle triangle lc av cot
    td 30 ca angle td 30 bc)
 )
pour retour
 (répète 2
  (lc tg 30 pq angle tg 30 re cot 
   id angle td 120 re cot tg 60 bc)
 )
répète 5
 ( branche retour 
   id angle tg 60 )

    2ème solution

    On peut construire le patron comme 2 séries de 5 losanges formés par 2 triangles.

    En introduisant les plis, on obtient : 
    
dans cot 50
pli a arcsin(2/3)
pour triangle 
 (répète 3 (av cot tg 120))
pour part1 
 (triangle id a td 60 triangle 
  tg 60 ig a tg 60 ig a td 120 
  re cot)
pour part2 
 (triangle tg 60 ig a triangle 
  id a td 60 id a tg 120 lc re cot 
  bc td 60)
lc av 50 bc
répète 5 (part1 part2)

Voir aussi :