Dessiner avec MINILOGO

Voici quelques exemples d'activités de dessins avec MiniLogo destinées à des élèves de collège.

  1. Découvrir Minilogo avec des carrés

    2. Il s'agit d'une première activité avec MiniLogo. Le but est de découvrir le langage de la tortue en dessinant des carrés et des figures faites à partir de carrés.

    La commande AV

    Ecrire un programme qui ne contient que la commande "AV nombre" et le faire fonctionner. On peut fait immédiatement la constatation suivante : au départ la tortue est au centre de l'écran et regarde vers la droite.
    En faisant varier la valeur du nombre (qui peut être décimal) on prend conscience de l'unité de longueur utilisée (10 pixels) et de la largeur de l'écran.
    "nombre" peut être négatif ! Cela permet d'introduire la commande RE et d'établir les rapports entre AV, RE et le signe de "nombre".

    Dessiner un carré

    Cette consigne permet d'introduire les commandes TD et TG et la notion de cap de la tortue.
    D'autre part, la répétition de la séquence "AV 10 TG 90", amène naturellement la commande REPETE.
    Finalement on obtient le carré avec la ligne : 
    
REPETE 4 (AV 10 TG 90)
    Remarque : à la fin du programme, la tortue se trouve dans le même état (position et cap) qu'au départ.

    Dessiner un carré centré

    Le carré obtenu précédemment se dessine vers la droite et le haut de l'écran. Pour obtenir un carré centré, il faut déplacer le point de départ de la tortue. Pour que ce déplacement ne laisse pas de trace, il faut utiliser la commande LC. Par la suite, pour rétablir la faculté de dessiner de la tortue, il faudra utiliser la commande BC. Le déplacement du point de départ provoque un changement de cap. Si l'on veut réutiliser la ligne du programme précédent, il faudra veiller à rétablir le cap 0 (du départ) en annulant les commandes TG et TD utilisée.
    On peut utiliser le programme suivant :
    
; lever le crayon
LC
; se placer sur le coin inférieur gauche du carré centré
TG 180 AV 5 TG 90 AV 5
; rétablir le cap
TD 180 TD 90
; baisser le crayon
BC
; tracer le carré
REPETE 4 (AV 10 TG 90)

    Dessiner deux carrés centrés de côtés 10 et 20

    Cette consigne permet de réutiliser le travail précédent.
    Voici un programme possible avec un carré de côté 10 et un carré de côté 20 : 
    
; se placer sur le coin inférieur gauche du 
; premier carré 
LC
TG 180 AV 5 TG 90 AV 5
TD 180 TD 90
BC
; tracer le carré de côté 10
REPETE 4 (AV 10 TG 90)
; se placer sur le coin inférieur gauche du 
; deuxième carré
LC
TG 180 AV 5 TG 90 AV 5
TD 180 TD 90
BC
; tracer le carré de côté 20
REPETE 4 (AV 20 TG 90)

    Dessiner un carré et ses deux médianes

    Il est possible de réaliser la figure avec les notions précédentes. On peut aussi remarquer que la figure est formée de 4 carrés identiques. Il suffit donc de répéter 4 fois la même suite de commandes. La commande POUR permet de donner un nom à une suite de commandes; elle permet en fait d'apprendre un nouveau mot à la tortue.
    On écrira : 
    
POUR CARRE (REPETE 4 (AV 10 TG 90))
    et dans la suite du programme, le mot CARRE aura une signification pour la tortue.
    La figure demandée, peut être obtenue en répétant 4 fois CARRE TG 90.
    On obtient finalement le programme : 
    
POUR CARRE (REPETE 4 (AV 10 TG 90))
REPETE 4 (CARRE TG 90)

    Les carrés tournants

    On reprend le programme précédent et on fait varier le nombre de carrés à dessiner et l'angle dont tourne la tortue après chaque carré.
    Par exemple : 
    
POUR CARRE (REPETE 4 (AV 10 TG 90))
REPETE 10 (CARRE TG 36)

    Question : quelle relation doit-il y avoir entre ces deux nombres pour obtenir une figure "complète" ?
    On obtient de très beaux dessins avec ces programmes.

    D'autres figures

    On peut proposer en exercice la réalisation de figures données construites à partir de carrés.

  2. Les polygones réguliers

    3. Cette activité a été menée après celle concernant les carrés. Elle donne lieu à des recherches sur des valeurs d'angles, celles-ci se font d'abord par tâtonnement, mais la nécessité de trouver une formule se fait rapidement sentir.

    Polygones réguliers convexes

    Le triangle équilatéral
    A partir de la procédure CARRE déjà utilisée, on essaie de construire une procédure TRIANGLE qui dessine un triangle équilatéral. Il suffit de répéter 3 fois le dessin du côté et de tourner d'un certain angle à chaque fois. Le problème est de trouver la valeur de cet angle. Chaque élève fait des essais et constate que le triangle a du mal à se refermer. On augmente et on diminue la valeur de l'angle jusqu'au moment où on découvre qu'elle est de 120°.
    Le pentagone régulier et les autres
    Nouvelle consigne : dessiner un pentagone régulier, puis des polygones réguliers à n côtés.
    On se retrouve devant le problème précédent, mais la valeur magique à découvrir est moins simple. La méthode des talonnement montre ses limites. Le professeur pourra reprendre l'exemple du triangle équilatéral et montrer comment la valeur de 120° aurait pu être découverte en raisonnant sur les mesures des angles. Les élèves peuvent alors reprendre l'étude du pentagone et aboutir.

    Les polygones étoilés

    Pour terminer cette activité, on peut se proposer de dessiner des étoiles, en commençant par l'étoile à 5 branches.
    Le programme suivant pourra être utilisé. 
    
REPETE 5 (AV 10 TD 144)

    Le problème est de comprendre comment la valeur 144° a été trouvée. Répondre à cette question, c'est se donner la possibilité de dessiner d'autres étoiles à 8, 9, 10 branches.

    Découvrir pour chaque étoile une valeur possible (car il y en a parfois plusieurs) de l'angle dont doit tourner la tortue est un thème de recherche particulièrement riche où se mêlent symétries, angles et même arithmétique.

  3. Avec une maison

    4. En dessinant des carrés sur les côtés d'un hexagone régulier et en reliant ces carrés on obtient un polygone régulier à 12 côtés. Cette activité consiste à réaliser cette figure en utilisant MiniLogo.

    Analyse de la figure

    La figure est manifestement formée de carrés et de triangles équilatéraux. On pourra reprendre les procédures déjà utilisées à ce sujet.
    On peut ensuite remarquer que la figure est un assemblage de 6 'maisons', une maison étant obtenue en dessinant un triangle équilatéral au dessus d'un carré. Nous pourrons donc écrire une procédure MAISON qui fera appel aux procédures CARRE et TRIANGLE.
    Il reste à étudier le déplacement que doit effectuer la tortue après avoir dessiné une maison pour être en mesure de dessiner correctement la maison suivante. Ceci nous fournit la procédure REPLACE.

    Le programme

    
POUR CARRE (REPETE 4 (AV 5 TD 90))
POUR TRIANGLE (REPETE 3 (AV 5 TG 120))
POUR MAISON (CARRE TRIANGLE)
POUR REPLACE (LC TG 150 AV 5 TD 90 BC)
REPETE 6 (MAISON REPLACE)

    Notes :

  4. Avec des cercles

    5. L'activité concernant les polygones réguliers peut être prolongée par une étude du cercle. Celui-ci pourra être représenté par un polygone régulier ayant un grand nombre de petits côtés.
    On pourra ainsi définir l'instruction cercle : 
    
POUR CERCLE (REPETE 72 (AV 1 TG 5))
    Un premier problème consistera à rechercher le rayon et le centre du 'cercle' dessiné par la tortue.
    Un arc de cercle n'étant qu'une partie de cercle, il est facile d'utiliser l'idée précédente pour dessiner des arcs de cercle. Par exemple, pour un arc dont l'angle au centre mesure 60° on définira l'instruction arc60 : 
    
POUR ARC60 (REPETE 12 (AV 1 TG 5))
    La première construction au compas connue par les élèves est celle de la rosace. La tortue sachant tracer des arcs de cercle, elle doit aussi être capable de dessiner une rosace.

    Analyse de la figure

    La rosace est formée d'arcs de cercle dont l'angle au centre mesure 120°. Il est possible de tracer 3 de ces arcs sans lever le crayon. Il faut ensuite se déplacer de 60° sur le cercle pour dessiner la deuxième série de trois arcs. Ceci nous amène à définir les instructions arc60 et arc120.
    Le principal problème qui se pose alors est celui du cap de la tortue qui se déplace toujours sur des tangentes au cercle. Il est donc nécessaire de connaître le centre de chaque arc et d'utiliser la propriété d'orthogonalité de la tangente et du rayon.

    Programme obtenu

    
pour arc60 (répète 12 (av 1 tg 5))
pour arc120 (répète 2 (arc60))
pour cercle (répète 6 (arc60))
'demi rosace
pour demi (répète 3 (arc120 tg 120))
cercle tg 60
demi
td 60 lc arc bc tg 60
demi

  5. Losanges et étoiles

    6. Le but de cette activité est de construire des étoiles construites comme des assemblages de losanges. Il donne lieu à des calculs d'angles. Le fait de devoir réaliser plusieurs étoiles montre bien que ce qui est important dans ces calculs n'est pas seulement le résultat obtenu, mais surtout le raisonnement qui a permis de l'obtenir.

    Un losange

    La première consigne est: "dessiner un losange (non carré)"
    Les 4 côtés étant égaux, le problème est de trouver la relation entre deux angles consécutifs, puis de la traduire en angles pour la tortue.
    En fixant provisoirement la mesure de l'angle aigu à 45°, on obtient le losange en écrivant :
    
AV 10 TG 45 AV 10 TG 135 AV 10 TG 45 AV 10 TG 135
    ou 
    
REPETE 2 (AV 10 TG 45 AV 10 TG 135)
    On peut transformer ceci en une procédure : 
    
POUR LOS45 (REPETE 2 (AV 10 TG 45 AV 10 TG 135))

    Huit losanges

    Le losange ayant un angle aigu de 45° étant construit, combien de fois faut-il le reproduire pour obtenir une étoile ? Un raisonnement simple nous apprend qu'il faut le reproduire 8 fois.
    On pourra utiliser le programme suivant : 
    
POUR LOS45 (REPETE 2 (AV 10 TG 45 AV 10 TG 135))
REPETE 8 (LOS45 TG 45)

    Plusieurs losanges

    La suite de l'activité consiste à laisser les élèves construire de nouvelles étoiles en assemblant 3, 4, 6, 9, ..... losanges. C'est l'occasion de faire des calculs d'angles, et dans le cas à 4 branches de constater qu'un losange peut être un carré.

  6. Frises

    7. On se propose de remplir l'écran en répétant un motif par translation. Ce sera l'occasion de décomposer un problème complexe en problèmes plus simples.

    Analyse du problème

    Quelles sont les étapes de la construction d'une frise ? Quelles sont les opérations que la tortue devra effectuer une ou plusieurs fois ? Les réponses à ces questions mèneront à la définition de nouveaux mots compréhensibles par la tortue.
    On définira ainsi :

    Le programme abstrait

    L'analyse précédente nous permet d'écrire un programme abstrait traçant 10 lignes de motifs : 
    
INITIALISE
REPETE 10 (LIGNE RETOUR)
    Il reste à le concrétiser en donnant un sens concret aux mots utilisés. Il faudra donc compléter : 
    
POUR INITIALISE (..........)
POUR MOTIF (...........)
POUR LIGNE (............)
POUR RETOUR (..............)

    Un exemple concret

    Voici un exemple de réalisation de frise. 
    
'définition du motif à reproduire
POUR MOTIF 
 (AV 2 TG 90 AV 2 TG 90 AV 2 TD 90 AV 2 TD 90
  AV 4 TD 90 AV 4 TG 90 AV 2)
'tracé d'une ligne
POUR LIGNE (REPETE 10 (MOTIF))
'changement de ligne : on commence par lever 
'le crayon
POUR RETOUR (LC RE 60 TD 90 AV 6 TG 90 BC)
'placer la tortue sur sa position de départ
POUR INITIALISE (LC RE 30 TG 90 AV 19 TD 90 BC)
'corps du programme
INITIALISE
REPETE 8 (LIGNE RETOUR)

  7. Les fils tendus

    8. Cette activité utilise la commande FPOS qui permet de déplacer la tortue en utilisant des coordonnées. Elle fera aussi intervenir des variables.
    Il s'agit de reproduire la figure suivante :

    Analyse de la figure

    La figure est formée de segments dont les extrémités se trouvent sur les axes de coordonnées.
    On peut penser à regrouper les segments par 4 pour obtenir des losanges. Leurs sommets auront pour coordonnées :
    (a,0),(0,b),(-a,0) et (0,-b).
    La commande FPOS permet donc de dessiner facilement l'un de ces losanges, il reste à faire varier a et b pour obtenir la figure désirée.

    Programme obtenu

    
;fils tendus
;initialisation des variables
dans a 25
dans b 1
;dessin d'un losange 
pour losange
 (lc fpos a 0 bc fpos 0 b 
  fpos -a 0 fpos 0 -b fpos a 0)
;on fait varier a et b, a diminue et b augmente
tantque a>0
 (losange
  dans a a-2
  dans b b+2)

Voir aussi :